MATLAB基本使用

Alive~o.02024-07-142024-11-04

向量

基础运算

matlab

x=0:0.1:50; %冒号法：0-50相信间隔值组成的向量x,间隔值为0.1
x=[2 4 6 8]%行向量
x=[1;2;3]%列向量
x=linspace(0,10,6)%linspace(first_value,last_value,number)平均取值
x=logspace(1,3,3)%logspace(first_value,last_value,number)从10^first_value-10^last_value,包含number个
%向量元素引用
x(n)%x中第x个元素
x(n1:n2)%x中n1-n2的元素
.* %点积运算
cross()%叉积运算cross(a,b)a,b必为长为3的向量
poly2sym(p)%多项式构造
conv(p1,p2)%卷积运算，乘法运算
[k,r]=deconv(p1,p2)%除法运算,k-商,r-余数
poly(root)%求以root为解的多项式系数
polyder(p)%求p的导数的系数

特殊变量

单元型变量

赋值语句定义

matlab

A=[1 2;3 4];	
B=3+2*i;	
C='efg';	
D=2;	
E={A,B;C,D}

对单元语句逐个赋值——cell()

matlab

E=cell(1,3);	
E{1,1}=[1:4];
E{1,2}=3+2*i;
E{1,3}=2;
E
E{1}
E(1)

cell(size(A)):生成与A相同形式的单元型置空矩阵

引用

大括号显示单元具体的值
小括号显示单元压缩值

常用函数

1.celldisp()显示内容

2.cedllplot()用图形显示

结构型变量

matlab

mn=struct('color',{'red', 'black'},'number',{1,2})
mn(1)
mn(2) 
mn(2).color

矩阵运算

矩阵生成

利用M文件创建

matlab

% sample.m
% 创建一个M文件，用以输入大规模矩阵
gmatrix=[378 89 90  83 382 92 29;
3829 32 9283 2938 378 839 29;
388 389 200 923 920 92 7478;
3829 892 66 89 90 56 8980;
7827 67 890 6557 45  123 35]

利用文本文件创建

matlab

1 2	load goods.txt goods

创建特殊矩阵

matlab

zeros(3)
zeros(3,2)
ones(3,2)
ones(3)	
rand(3)%3*3随机数矩阵，值在(0,1)之间
rand(3,2)
magic(3)%3阶魔方矩阵	
hilb(3)%3阶Hilbert矩阵
invhilb(3)%3阶Hilbert矩阵的逆

矩阵元素的运算

元素的修改

D=[A,B C],A- 原矩阵，B C-包含要扩充的元素，D-扩充后的矩阵
A=(m,),A的m行

矩阵的变维

reshape(X,m,n)——将已知矩阵变成m行n列的矩阵

:法

matlab

A=1:12
B=reshape(A,2,6)
C=zeros(3,4); 
C(:)=A(:)

矩阵的变向

rot90(A):A逆时针旋转90°
rot90(A,k):A逆时针旋转90°*k
fliplr(X):X左右翻转
flipud(X):X上下翻转
flipdim(X,dim):dim=1——行翻转；dim=2——列翻转

矩阵的提取

矩阵数学运算

加减法

乘法

叉乘：一行乘一列
点乘：相同位置的进行乘法运算

除法

左除 B.\A：B的相应位置除A的相应位置
右除 B/A:A的相应位置除B的相应位置

基本运算

幂函数 A.^2
逆 inv(X)
逆条件数 rcond(A)
逆的更新 updateinv(A)
2-范数 norm(A)
2-范数估计值 normest(A)
行列式 det(A)

矩阵分解

楚列斯基分解(正定矩阵)

matlab

A=[1 1 1 1;1 2 3 4;1 3 6 10;1 4 10 20];	%创建正定矩阵A
R=chol(A)%求正定矩阵A的楚列斯基分解因子

R =

     1     1     1     1
     0     1     2     3
     0     0     1     3
     0     0     0     1
ans =

     1     1     1     1
     1     2     3     4
     1     3     6    10
     1     4    10    20

LU分解(三角分解)

matlab

A=[1 2 3 4;5 6 7 8;2 3 4 1;7 8 5 6];
[L,U]=lu(A)%返回下三角矩阵L，上三角矩阵U

L =

    0.1429    1.0000         0         0
    0.7143    0.3333    1.0000         0
    0.2857    0.8333    0.2500    1.0000
    1.0000         0         0         0


U =

    7.0000    8.0000    5.0000    6.0000
         0    0.8571    2.2857    3.1429
         0         0    2.6667    2.6667
         0         0         0   -4.0000


L =

    1.0000         0         0         0
    0.1429    1.0000         0         0
    0.7143    0.3333    1.0000         0
    0.2857    0.8333    0.2500    1.0000

[L,U,P]=lu(A)%返回下三角矩阵L，上三角矩阵U，置换矩阵P，PA=LU
U =

    7.0000    8.0000    5.0000    6.0000
         0    0.8571    2.2857    3.1429
         0         0    2.6667    2.6667
         0         0         0   -4.0000


P =

     0     0     0     1
     1     0     0     0
     0     1     0     0
     0     0     1     0

${LDM}^T$ 和 ${LDL}^T$ 分解

${LDM}^T$ 分解

matlab

function [L,D,M]=ldm(A)
%此函数用来求解矩阵A的LDM'分解
%其中L，M均为单位下三角矩阵，D为对角矩阵
[m,n]=size(A);
if m~=n
    error('输入矩阵不是方阵，请正确输入矩阵!');
    return;
end
D(1,1)=A(1,1);
for i=1:n
    L(i,i)=1;
    M(i,i)=1;
end
L(2:n,1)=A(2:n,1)/D(1,1);
M(2:n,1)=A(1,2:n)'/D(1,1);

for j=2:n
    v(1)=A(1,j);
    for i=2:j
        v(i)=A(i,j)-L(i,1:i-1)*v(1:i-1)';
    end
    for i=1:j-1
        M(j,i)=v(i)/D(i,i);
    end
    D(j,j)=v(j);
    L(j+1:n,j)=(A(j+1:n,j)-L(j+1:n,1:j-1)*v(1:j-1)')/v(j);
end

matlab

1
2
3

A=[1 2 3 4;4 6 10 2;1 1 0 1;0 0 2 3];
[L,D,M]=ldm(A)	
L*D*M'

${LDL}^T$ 分解

matlab

function [L,D]=ldlt(A)
%此函数用来求解实对称矩阵A的LDL'分解
%其中L为单位下三角矩阵，D为对角矩阵

[m,n]=size(A);
if m~=n | ~isequal(A,A')
    error('请正确输入矩阵!');
    return;
end
D(1,1)=A(1,1);
for i=1:n
    L(i,i)=1;
end
L(2:n,1)=A(2:n,1)/D(1,1);
for j=2:n
    v(1)=A(1,j);
    for i=1:j-1
        v(i)=L(j,i)*D(i,i);
    end
    v(j)=A(j,j)-L(j,1:j-1)*v(1:j-1)';
    D(j,j)=v(j);
    L(j+1:n,j)=(A(j+1:n,j)-L(j+1:n,1:j-1)*v(1:j-1)')/v(j);
end

matlab

1
2
3

A=[1 2 3 4;2 5 7 8;3 7 6 9;4 8 9 1];
[L,D]=ldlt(A)
L*D*L'

QR分解(正交三角形分解)

matlab

A=rand(4)
[Q,R] =qr(A)
A =
    0.4218    0.6557    0.6787    0.6555
    0.9157    0.0357    0.7577    0.1712
    0.7922    0.8491    0.7431    0.7060
    0.9595    0.9340    0.3922    0.0318


Q =
   -0.2634    0.4305    0.6535    0.5641
   -0.5718   -0.7879    0.2092    0.0919
   -0.4947    0.3338    0.2413   -0.7653
   -0.5991    0.2871   -0.6862    0.2962


R =
   -1.6015   -1.1728   -1.2146   -0.6389
         0    0.8058    0.0559    0.3921
         0         0    0.5123    0.6127
         0         0         0   -0.1454

qrdelete & qrinsert

SVD分解

[U,S,V]=svd(A)

m*m矩阵U，对角矩阵S，n*n矩阵V

舒尔分解

海森伯格分解

二维绘图

plot

plot(x,y)
subplot(m,n,p) m*n个视图区域，当前为第p个(按行排列)
tiledlayout(m,n)+nexttile
tiledlayout(2,2) 布局为2*2的区域

matlab

x=0:pi/10:2*pi;
y1=sin(x);
y2=cos(x);
y3=x;
y4=x.^2;%输入以x为自变量的4个函数表达式
hold on%在此画布上进行绘制
plot(x,y1,'r*')
plot(x,y2,'kp')
plot(x,y3,'bd')
plot(x,y4,'m--')
hold off

fplot 一元函数图像

matlab

x=linspace(0.01,0.02,50);
y=sin(1./x);
subplot(2,1,1),plot(x,y)
subplot(2,1,2),fplot(@(x)sin(1./x),[0.01,0.02])
%(x)sin(1./x)是定义的匿名函数。

不同坐标系下的绘图命令

极坐标系——polarplot

polarplot(thera,rho) thera——弧度，rho——半径
polarplot(thera,rho,LineSpace) LineSpace——样式
pol2cart(t,r) 极坐标下的数据点换到直角坐标系下

半对数坐标系——semilogx/semilogy

双对数坐标系——loglog

双y轴坐标——yyaxis

yyaxis left
yyaxis right

图形窗口

finger——创建图形窗口
set(n)——返回图像属性名称和所有属性值
get(n)——返回图像属性名称和当前属性值

图形标注

属性设置

坐标系与坐标轴

axis(xmin,xmax,ymin,ymax,zmin,zmax)——设置坐标系

matlab

t=0:2*pi/99:2*pi;	
x=1.15*cos(t);y=3.25*sin(t);	
subplot(2,3,1),plot(x,y),axis normal,grid on,
title('Normal and Grid on')%grid on显示分割线
subplot(2,3,2),plot(x,y),axis equal,grid on,title('Equal')
subplot(2,3,3),plot(x,y),axis square,grid on,title('Square')
subplot(2,3,4),plot(x,y),axis image,box off,title('Image and Box off')	
subplot(2,3,5),plot(x,y),axis image fill,box off
title('Image and Fill')
subplot(2,3,6),plot(x,y),axis tight,box off,title('Tight')

fill(X,Y,C) X,Y——创建的图形，C——颜色

title——标题

x/ylabel——轴注释

text(x,y,string)——在图中(x,y)位置显示string

gtext——鼠标在任意位置进行标注

legend——添加图例

特殊图形

统计图形

条形图
- 二维：bar——竖直条形图；barh——水平条形图
- 三维：bar3——竖直条形图；bar3h——水平条形图
面积图：area(Y)
饼图：pie/pie3
柱状图
- 直角坐标系：histogram
- 极坐标系：ploarhistogram

离散数据图形

误差棒图：errorbar(y,err)
火柴杆图：stem(Y)
阶梯图：stairs(Y)

向量图形

罗盘图：compass(U,V)
羽毛图：feather(U,V)
箭头图：quiver(U,V)/quiver3

返回数值梯度：gradient(Z,2,2)

三维绘图

绘图命令

plot3/fplot3
三维网格命令
- mesh(X,Y,Z) 网线面
- mesh(X,Y) x-y为底，y对应的值为z轴
- meshc 加基本等高线
- meshz 网格线与零平面连起来
- fmesh(f)
三维曲面命令
- surf
  - surfc 加基本等高线
  - surfl 有亮度的曲面
- fsurf
柱面与球面
- [X,Y,Z]=cylinder 返回对应函数的x,y,z坐标值
  
  cylinder(2,6) 正六边形，半径为2的棱柱
- sphere 生成球面
  
  [X,Y,Z]=cylinder(n) 绘制n*n个面的球面，返回球面坐标
三维图形等值线
- contour3(x,y,z)
- contourf 填充颜色的二维等值图
  
  colormap gray 应用灰度颜色图
- C=contourc(Z) 计算等值线矩阵C
- clabel 在二维等值图中添加高度标签
- fcontour 符号函数等值线图

三维图形修饰处理

视角处理

view(az,el) az——方位角，el——仰角

颜色处理

brighten(beat) 明暗处理0<beat<1
caxi([cmin,cmax]) 色轴刻度

colorbar 显示垂直色轴
shading 颜色渲染设置
colormap(M) 将M作为当前窗口颜色映像

光照处理

surfl 带光照模式
light/lightangle 确定光源位置

图像处理

imread 图像读入
imwrite 图像写入
image/imageesc/imshow 图像显示
imfinfo 图像信息查询

程序设计

M文件

命令文件
函数文件

function开始

程序设计

程序结构
- 顺序结构
- 循环结构
- 分支结构
流程控制
- break
- pause(10) 暂停10秒
- continue
- return
- echo on 显示执行过程中每一行语句的执行过程
- waring(massage) 不影响正常运行
- error(massage) 终止运行
交互式输入
- input(massage)
- keyboard 暂停程序，使用键盘调用命令
- menu
程序调试
- 系统提示
- 断点

函数句柄

1.创建

matlab

fun_handle=@save %创建函数save()的句柄

fun_handle =
  包含以下值的 function_handle:
    @save

2.调用——feval()

矩阵分析

特征值与特征向量

[V,D]=eig(A,balanceOption) 求矩阵A的特征值和特征向量

balanceOption:默认平衡处理
[T,B]=balance(A) 求相似变换矩阵T，平衡矩阵B

[S,P,B]=balance(A) 缩放向量S，置换向量P
c=ploy(A) 求特征多项式
r=roots© 求特征多项式的根
eigs 部分特征值
eig(A,B) 求广义特征值

矩阵对角化

判断矩阵能否对角化

matlab

function y=isdiag1(A)
%该函数用来判断矩阵A是否可以对角化
%若返回值为1，则说明A可以对角化；若返回值为0，则说明A不可以对角化

[m,n]=size(A); %求矩阵A的阶数
if m~=n%若A不是方阵，则肯定不能对角化
    y=0;
    return;
else
    [V,D]=eig(A);
    if rank(V)==n %判断A的特征向量是否线性无关
        y=1;
        return;
    else
        y=0;
    end
end

矩阵对角化

matlab

function[P,D]=reduce_diag(A)
if ~isdiag(A)
	error('该矩阵不能对角化');
else
	disp('将下面的矩阵P乘以任意非零整数所得矩阵仍满足inv(P)*P*A=D');
	[P,D]=eig(A);
end

若尔当标准型

[P,J]=jordam(A) 若尔当标准形矩阵J，相似变换矩阵P

矩阵的反射与旋转变换

豪斯霍尔德反射波变换

避免上溢求豪斯霍尔德向量函数

matlab

function [v,beta]=house(x)
%此函数用来计算满足v(1)=1的v和beta使得P=I-beta*v*v'
%是正交矩阵且P*x=norm(x)*e1

n=length(x);
if n==1
    error('请正确输入向量!');
else
    sigma=x(2:n)'*x(2:n);
    v=[1;x(2:n)];
    if sigma==0
        beta=0;
    else
        mu=sqrt(x(1)^2+sigma);
        if x(1)<=0
            v(1)=x(1)-mu;
        else
            v(1)=-sigma/(x(1)+mu);
        end
        beta=2*v(1)^2/(sigma+v(1)^2);
        v=v/v(1);
    end
end

豪斯霍尔德矩阵求法

matlab

x=[2 3 4]';
[v,beta]=house(x)
P=eye(3)-beta*v*v' 
a=norm(x)
P*x

吉文斯旋转变换

[G,y]=planerot(x) y=Gx且y(2)=0,x——二维列向量

符号运算

符号与数值

eval(expression) 符号->数值
subs(s) 数值->符号
digits(D) 有效数字个数为D
vpa(x) 算数精度
B=sparse(A) 将A转换为稀疏格式
B=sparse(A) 创建A的伴随矩阵

符号矩阵

创建

直接输入

sym(‘x’) sym(‘a’,n)

matlab

x = sym('x'); 
y = sym('y');
a=[x+y,x;y,y+5]

a = sym('a', [1 4])%用自动生成的元素创建符号向量
a = sym('x_%d', [1 4])
 
a(1)	
a(2:3)

a = 
[a1, a2, a3, a4]
a =
[x_1, x_2, x_3, x_4]
ans =
x_1
ans =
[x_2, x_3]

数值矩阵->符号矩阵

B=sym(A)

计算不同精度的pi值

matlab

pi%默认精度
vpa(pi)%使用可变精度，32位数字

digits(10)%将vpa精度设成10
vpa(pi)%10位有效数字
 
r = sym(pi)
f = sym(pi,'f')%返回精确的有理数 
d = sym(pi,'d')%使用十进制模式将浮点数转换为符号数字
e = sym(pi,'e')	%使用误差估值模式将浮点数转换为符号数字

ans =3.1416
ans =3.141592654 
ans =3.141592654
r =pi
f =884279719003555/281474976710656
d =3.141592654
e =pi - (198*eps)/359

其他运算

转置
- B=A.’
- B=transpose(A)
行列式运算 d=det(A)
逆 inv(A)
求秩 rank(A)
特征值，特征向量 eig()
奇异值 svd()
若尔当标准型 jordan()

符号多项式简化

因式分解 factor(x) 返回x的所有不可约因子

符号矩阵的展开 expand(S)

matlab

syms x y	
expand((x+3)^4)
expand(cos(x+y))

ans = x^4 + 12*x^3 + 54*x^2 + 108*x + 81
ans = cos(x)*cos(y) - sin(x)*sin(y)

符号简化 simplify

分式通分 [n,d]=numden(A) 表达式分子n,分母d

matlab

syms x y	
[n,d]=numden(x/y-y/x+x.^2)

n = x^3*y + x^2 - y^2
d = x*y

“秦九韶型”重写 horner(p)

matlab

syms x
horner(x^4-3*x^2+1)

ans =x^2*(x^2 - 3) + 1

数列与极限

数列

数列求和

sum(A,dim)
- 向量——所有元素和 dim=1：不求和；dim=2：求和
- 矩阵——每一列元素和 dim=1：列求和，行显示；dim=2：行求和，列显示
- sum(·，nanflag) nanflag=includenan——计算NaN,nanflag=omitnan——计算NaN,
nansum(A) 忽略NaN累计求和函数
cumsum(A) 求此元素之前的元素和函数
cumtrapz(Y) 求梯形累计和函数(积分)

数列求积

元素连续相乘函数 B=prod(A)

矩阵：按列向量的所有元素的积
求累计积函数 B=cumprod(A)
阶乘函数 f=factorial(n)

伽马函数(非整数的阶乘) gamma()

matlab

>> factorial(6)

ans =
   720

>> gamma(6)

ans =
   120

>> 6*gamma(6)

ans =
   720

极限和导数

极限

x->0

limit(f)
x->∞

limit(f,inf,’right’) right:右极限

导数

diff(f,n) 求函数f的n阶导数
diff(f,x) 求函数f对x的导数

级数求和

有限项级数求和 symsum(f,k,a,b) 计算级数f关于指数k从a到b的有限项和
无穷级数求和将b改为inf

积分

定积分和广义积分 int(f,x,a,b)
不定积分 int(f,x)

多重积分

二重积分 intergral2(fun,xmin,xmax,ymin,ymax)

fzero(‘2*x-0.5*x’,0) 求f1-f2=0，即f1,f2的交点

泰勒展开

taylor(f,m,a)

taylor(f,’order’,5) 五阶麦克劳林型近似展开

傅里叶展开

matlab

function [a0,an,bn]=Fourierzpi(f)
syms x n
a0=int(f,0,2*pi)/pi;
an=int(f*cos(n*x),0,2*pi)/pi;
bn=int(f*sin(n*x),0,2*pi)/pi;

积分变换

傅里叶积分变换 fourier(f,u,v)
傅里叶逆变换 ifourier(F,v,u)
快速傅里叶变换
拉普拉斯变换 laplace(F,w,z)
拉普拉斯逆变换 ilaplace(L,x,y)

方程求解

线性方程组求解

判断线性方程组的解

Z=null(A) 求矩阵A的核空间矩阵Z，Z的列向量是Ax=0的基础解系，满足 $Z^TZ=I$

Z=null(A,’r’) Z的列向量是Ax=0的有理基，Z不满足 $Z^TZ=I$

判断线性方程组Ax=b的解的存在性

matlab

function y=isexist(A,b)
%该函数用来判断线性方程组Ax=b的解的存在性
%若方程组无解则返回0，若有唯一解则返回1，若有无穷多解则返回Inf
[m,n]=size(A);
[mb,nb]=size(b);
if m~=mb
    error('输入有误!');
    return;
end
r=rank(A);
s=rank([A,b]);
if r==s&r==n
    y=1;
elseif r==s&r<n
    y=Inf;
else
    y=0;
end

利用矩阵的逆(伪逆)与除法求解

Ax=b

为恰定方程组且A是非奇异的, $x=A^{-1}b$
不为为恰定方程组或A奇异，x=A\b

matlab

format rat
A=[1 2 2 0;0 1 -2 -2;1 3 0 -2];	
b=[1 2 3]';
x0=pinv(A)*b %利用伪逆求一个特解
Z=null(A,'r')%求基础解系
format

x0 =
      13/77    
      46/77    
      -2/11    
     -40/77    


Z =
      -6             -4       
       2              2       
       1              0       
       0              1

利用行阶梯型求解

只适用于恰定方程组，且系数矩阵非奇异

矩阵->行阶梯型 [R,jb]=rref(A) jb:非零主元列

利用矩阵分解法求解

LU分解法

matlab

function x=solvebyLU(A,b)
%该函数利用LU分解法求线性方程组Ax=b的解
flag=isexist(A,b);%调用函数isexist()判断方程组解的情况
if flag==0
    disp('该方程组无解!');
    x=[];
    return;
else
    r=rank(A);
    [m,n]=size(A);
    [L,U,P]=lu(A);
    b=P*b;
    
    %解Ly=b
    y(1)=b(1);
    if m>1
        for i=2:m
            y(i)=b(i)-L(i,1:i-1)*y(1:i-1)';
        end
    end
    y=y';
    
    %解Ux=y得原方程组的一个特解
    x0(r)=y(r)/U(r,r);
    if r>1
        for i=r-1:-1:1
            x0(i)=(y(i)-U(i,i+1:r)*x0(i+1:r)')/U(i,i);
        end
    end
    x0=x0';
    
    if flag==1%若方程组有唯一解
        x=x0;
        return;
    else%若方程组有无穷多解
        format rat;
        Z=null(A,'r');%求出对应齐次方程组的基础解系
        [mZ,nZ]=size(Z);
        x0(r+1:n)=0;
        for i=1:nZ
            t=sym(char([107 48+i]));
            k(i)=t;	%取k=[k1,k2,…]; 
        end
        x=x0;         
        for i=1:nZ          
            x=x+k(i)*Z(:,i); %将方程组的通解表示为特解加对应齐次通解形式
        end        
    end
end
format%恢复数据显示格式

QR分解法

matlab

function x=solvebyQR(A,b)
%该函数利用QR分解法求线性方程组Ax=b的解
flag=isexist(A,b);%调用函数isexist()判断方程组解的情况
if flag==0
    disp('该方程组无解!');
    x=[];
    return;
else
    r=rank(A);
    [m,n]=size(A);
    [Q,R]=qr(A);
    b=Q'*b;
    
    %解Rx=b得原方程组的一个特解
    x0(r)=b(r)/R(r,r);
    if r>1
        for i=r-1:-1:1
            x0(i)=(b(i)-R(i,i+1:r)*x0(i+1:r)')/R(i,i);
        end
    end
    x0=x0';
    
    if flag==1 %若方程组有唯一解
        x=x0;
        return;
    else%若方程组有无穷多解
        format rat;
        Z=null(A,'r');%求出对应齐次方程组的基础解系
        [mZ,nZ]=size(Z);
        x0(r+1:n)=0;
        for i=1:nZ
            t=sym(char([107 48+i]));
            k(i)=t;%取k=[k1,…,kr]; 
        end
        x=x0;         
        for i=1:nZ          
            x=x+k(i)*Z(:,i);%将方程组的通解表示为特解加对应齐次通解形式
        end        
    end
end
format%恢复数据显示格式

楚列斯基分解法

matlab

function x=solvebyCHOL(A,b)
%该函数利用楚列斯基分解法求线性方程组Ax=b的解
lambda=eig(A);
if lambda>eps&isequal(A,A')
    [n,n]=size(A);
    R=chol(A);
    %解R'y=b
    y(1)=b(1)/R(1,1);
    if n>1
        for i=2:n
            y(i)=(b(i)-R(1:i-1,i)'*y(1:i-1)')/R(i,i);
        end
    end
    
    %解Rx=y
    x(n)=y(n)/R(n,n);
    if n>1
        for i=n-1:-1:1
            x(i)=(y(i)-R(i,i+1:n)*x(i+1:n)')/R(i,i);
        end
    end
    x=x';
else
    x=[];
    disp('该方法只适用于对称正定的系数矩阵!');
end

非负最小二乘解

lsqnonneg(A,b)

方程与方程组的优化解

非线性方程基本函数
- x=fzero(fun,x0)
- x=fzero(fun,x0,options)
- x=fzero(problem)
- [x,fval,exitflag,output]=fzero(···)
非线性方程组基本函数
- x=fslove(fun,x0)
- x=fslove(fun,x0,options)
- x=fslove(problem)
- [x,fval,exitflag,output,jacobian]=fslove(···)

微分方程

S=desolve(eqn,cond,Name,Value)

matlab

syms x(t) y(t)
eqns=[diff(x,t)==y,diff(y,t)==-x];
S=dsolve(eqns)
disp(' ')
disp(['微分方程的解',blanks(2),'x',blanks(22),'y'])
disp([S.x,S.y])	%显示方程的解

常微分方程的数值解法

欧拉方法

根据欧拉公式 $y_{n+1}=y_n+hf(x_n,y_n)$

matlab

function [x,y]=euler(f,x0,y0,xf,h)
n=fix((xf-x0)/h);
y(1)=y0;
x(1)=x0;
for i=1:n
    x(i+1)=x0+i*h;
    y(i+1)=y(i)+h*feval(f,x(i),y(i));
end

改进的欧拉公式：

$\begin{aligned} &y_p=y_n+hf(x_n,y_n) \\ &y_c=y_n+hf(x_{n+1},y_n) \\ &y_{n+1}=\frac{1}{2}(y_{p}+y_{c}) \end{aligned}$

matlab

function [x,y]=adeuler(f,x0,y0,xf,h)
n=fix((xf-x0)/h);
x(1)=x0;
y(1)=y0;
for i=1:n
    x(i+1)=x0+h*i;
    yp=y(i)+h*feval(f,x(i),y(i));
    yc=y(i)+h*feval(f,x(i+1),yp);
    y(i+1)=(yp+yc)/2;
end

龙格-库塔方法

非刚性
- ode23 二、三阶R-K函数
- ode45 四、五阶R-K函数
- ode113
刚性
- ode15s 多步法
- ode23s 单步法
- ode23t 难度适中
- ode23tb 较难
完全隐式 ode15i

偏微分方程 PDE

[PDE工具箱使用](matlab的PDE工具箱的简单使用_matlab pde-CSDN博客)

区域设置及网格化

创建偏微分方程定义的区域文件名：pdegeom
- ne=pdegeom
  
  ne——几何区域边界的线段数
- d=pdegeom(bs)
  
  d——一个区域边界数据的矩阵
- [x,y]=pdegeom(bs,s)
  
  bs——指定的边界线段
  
  s——相应线段弧长的近似值

网格化

matlab

model = createpde;
geometryFromEdges(model,@cardg);%根据自定义函数的几何形状创建模型对象的几何图形
mesh=generateMesh(model);
subplot(2,2,1),pdemesh(model)
title('初始网格图')
mesh=generateMesh(model,'Hmax',2);  	
subplot(2,2,2),pdemesh(model)
title('修改网格边界最大值')
mesh=generateMesh(model,'Hmin',2); 
subplot(2,2,3),pdemesh(model),title('修改网格边界最小值') 
mesh=generateMesh(model,'GeometricOrder','linear','Hgrad',1);
subplot(2,2,4),pdemesh(model)
title('修改网格几何秩序和增长率')

边界条件设置

M文件名：pdebound

调用格式：[q,g,h,r]=pdebound(p,e,u,time)

e——边界

工具箱自带文件squareb3,m 区域为单位正方形

PDE函数求解

result=solvepde(model) 稳态

result=solvepde(model,tlist) 时间相关

lplsfc.m

matlab

model = createpde(); 
geometryFromEdges(model,@cirsg);%cirsg自带的
specifyCoefficients(model,'m',0,'d',0,'c',0,'a',1,'f',0);
%方程系数
rfun=@(location,state) 
%初始条件
cos(2/3*atan2(location.y,location.x));
applyBoundaryCondition(model,'dirichlet','Edge',...
1:model.Geometry.NumEdges,'r',rfun,'h',1);%在所有边缘设置狄利克雷条件
generateMesh(model,'Hmax',0.25); %设置最大边界尺寸，生成模型网络
results=solvepde(model);	
u=results.NodalSolution;	
pdeplot(model,'XYData',u,'ZData',u(:,1))
hold on
pdemesh(model,u)	
title('解的网格表面图')

rcd.m

matlab

model = createpde();  
geometryFromEdges(model,@squareg);
%自带的正方形区域
applyBoundaryCondition(model,'dirichlet',...
'Face',1:model.Geometry.NumFaces,'u',1);
%在所有面应用dirichlet边界条件
specifyCoefficients(model,'m',0,'d',1,'c',1,'a',0,'f',0);
%边界条件
u0=@(location) location.x.^2+location.y.^2<0.4;
%定义初始条件
setInitialConditions(model,u0);%设置初始条件
generateMesh(model,'Hmax',0.25); 
tlist = linspace(0,0.1,20); %时间列表
results = solvepde(model,tlist);
u=results.NodalSolution;	
pdeplot(model,'XYData',u,'ZData',u(:,1))%表面图
hold on
pdemesh(model,u)%网格图	
title('解的网格表面图')

解特征值方程

result=slovepdeeig(model,evr) evr——特征值范围

matlab

model = createpde();
geometryFromEdges(model,@lshapeg);
%lshapeg为自带的L形区域文件
Mesh=generateMesh(model); %生成模型网络
pdegplot(model,'FaceLabels','on','FaceAlpha',0.5)
applyBoundaryCondition(model,'dirichlet','Edge',...
1:model.Geometry.NumEdges,'u',0);
specifyCoefficients(model,'m',0,'d',1,'c',1,'a',1,'f',0); 
evr = [-Inf,100]; %指定区间
generateMesh(model,'Hmax',0.25);
results = solvepdeeig(model,evr); %求解特征值

              Basis= 10,  Time=   0.00,  New conv eig=  0
              Basis= 30,  Time=   0.00,  New conv eig=  6
              Basis= 50,  Time=   0.00,  New conv eig= 17
              Basis= 70,  Time=   0.02,  New conv eig= 35
End of sweep: Basis= 70,  Time=   0.02,  New conv eig= 33
              Basis= 43,  Time=   0.02,  New conv eig=  0
              Basis= 63,  Time=   0.02,  New conv eig=  1
End of sweep: Basis= 63,  Time=   0.02,  New conv eig=  1

V = results.Eigenvectors; %特征值向量
pdeplot(model,'XYData',V,'ZData',V(:,1)); 
title('第一特征模态图') 
figure
pdeplot(model,'XYData',V,'ZData',V(:,16));
title('第十六特征模态图')

数据可视化分析

样本空间

概率：p(A)

数据可视化

离散情况

matlab

x=[25  28  26  26  29  22  21  22  26  27  30  28  29];	
y=[28  23  35  21  24  32  35  34  31  30  28  29  27]; 
 plot(x,y,'r^') 
title('尼古丁含量测试情况')	
grid on

连续情况

matlab

x=[25  28  26  26  29  22  21  22  26  27  30  28  29];	
y=[28  23  35  21  24  32  35  34  31  30  28  29  27]; 
plot(x,y,'r^') 
title('尼古丁含量测试情况')	
grid on

正交试验分析

极差分析(直观分析法)

matlab

function [result,sum0]=zjjc(s,opt)
%对正交试验进行极差分析，s是输入矩阵，opt是最优参数，其中
%若opt=1，表示最优取最大，若opt=2，表示最优取最小
%s=[1     1  1    1   857;
%    1     2   2   2   951;
%    1     3   3   3   909;
%    2     1   2   3   878;
%    2     2   3   1   973;
%    2     3   1   2   899;
%    3     1   3   2   803;
%    3     2   1   3  1030;
%    3     3   2   1   927];
%s的最后一列是各个正交组合的试验测量值，前几列是正交表
 [m,n]=size(s);
  p=max(s(:,1));													%取水平数
  q=n-1;															%取列数
  sum0=zeros(p,q);
  for i=1:q
    for k=1:m 
         for j=1:p
          if(s(k,i)==j)
              sum0(j,i)=sum0(j,i)+s(k,n);							%求和
          end
        end
     end
 end
maxdiff=max(sum0)-min(sum0);%求极差
result(1,:)=maxdiff;
if(opt==1)
    maxsum0=max(sum0);
    for kk=1:q
        modmax=mod(find(sum0==maxsum0(kk)),p);					%求最大水平
        if modmax==0
            modmax=p;
        end
        result(2,kk)=(modmax);
    end
else
   minsum0=min(sum0);
    for kk=1:q
        modmin=mod(find(sum0==minsum0(kk)),p);					%求最小水平
        if modmin==0
            modmin=p;
        end
        result(2,kk)=(modmin);
    end 
end

例子：

matlab

s=[  1     1  1    1  857;
     1     2   2   2  951;
     1     3   3   3  909;
     2     1   2   3  878;
     2     2   3   1  973;
     2     3   1   2  899;
     3     1   3   2  803;
     3     2   1   3  1030;
     3     3   2   1   927]; 

[result,sum0]=zjjc(s,1)

result =
    43   416   101   164%每个因素的极差
     3     2     1     3%相应因素的最优生产条件
sum0 =%相应因素每个水平的数据和
        2717        2538        2786        2757
        2750        2954        2756        2653
        2760        2735        2685        2817

方差分析

matlab

function [result,error,errorDim]=zjfc(s,opt)
%对正交试验进行方差分析，s是输入矩阵，opt是空列参数向量，给出s中是空白列的列序号
%s=[1  1   1   1  1 1 1 83.4;
%    1  1   1   2  2 2 2    84;
%    1  2   2   1  1 2 2 87.3;
%    1  2   2   2  2 1 1 84.8;
%    2  1   2   1  2 1 2 87.3;
%    2  1   2   2  1 2 1    88;
%    2  2   1   1  2 2 1 92.3;
%    2  2   1   2  1 1 2 90.4;
%];
%opt=[3,7];
%s的最后一列是各个正交组合的试验测量值，前几列是正交表
[m,n]=size(s);
 p=max(s(:,1)); 													%取水平数
 q=n-1;%取列数
 sum0=zeros(p,q);
 for i=1:q
    for k=1:m 
         for j=1:p
          if(s(k,i)==j)
              sum0(j,i)=sum0(j,i)+s(k,n);							%求和
          end
        end
     end
 end
totalsum=sum(s(:,n));
ss=sum0.*sum0;
levelsum=m/p; 													%水平重复数
ss=sum(ss./levelsum)-totalsum^2/m; 								%每一列的S
ssError=sum(ss(opt));
for i=1:q
    f(i)=p-1;    													%自由度
end
fError=sum(f(opt));  											%误差自由度
ssbar=ss./f;
Errorbar=ssError/fError;
index=find(ssbar<Errorbar);
index1=find(index==opt);
index(index==index(index1))=[];									%剔除重复
ssErrorNew=ssError+sum(ss(index));  							%并入误差
fErrorNew=fError+sum(f(index));  								%新误差自由度
F=(ss./f)/(ssErrorNew./fErrorNew);   							%F值
errorDim=[opt,index];
 errorDim=sort(errorDim);										%误差列的序号
result=[ss',f',ssbar',F'];
error=[ssError,fError;ssErrorNew,fErrorNew];

例子：

matlab

s=[ 51 25 18 32;
40 23 13 35;
43 24 12 34;
48 26 16 30;
35 30 11 35;
32 31 10 37];

[result,sum0]=zjfc(s,1)%第1列为空白列以考查试验误差进行方差分析

result =%方差分析结果
   1.0e+04 *
    5.1773    0.0050    0.1035    0.0001
    5.1773    0.0050    0.1035    0.0001
    5.1773    0.0050    0.1035    0.0001


sum0 =%误差
   1.0e+04 *
    5.1773    0.0050
    5.1773    0.0050

回归分析和方差分析

回归分析

一元线性回归

ployfit()

matlab

x=[82 93 105 130 144 150 160 180 270 300 400]; 
y=[75 85 92 105 120 130 145 156 200 200 240];
[p,s]=polyfit(x,y,1)
plot(x,y,'o')
x0=[min(x):1:max(x)];%重新定义取值点，间隔为1
y0=p(1)*x0+p(2);	
hold on 
plot(x0,y0)

p =%多项式的系数向量
    0.5269   44.2547
s = %用于获取误差估计值的结构体
  包含以下字段的 struct:
        R: [2×2 double]
       df: 9
    normr: 36.8058

多元线性回归

[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,X,alpha) 因变量y,自变量X

b——对回归系数的最小二乘估计

bint——回归系数b的95%置信度的置信区间

r——残差

rint——r的置信区间

stats——检验统计量

假设回归方程有常数项，计算stats时，X应该包含一个全1的列

alpha——指定的置信水平

matlab

y=[11.9 22.8 18.7 20.1 12.9 21.7 27.1 25.4	 21.3 19.3 25.4 27.2 11.7	17.8 12.8 23.9 22.6 25.4 14.8 21.1];
%测量数据
x=[1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1; 19.5 24.7 30.7 29.8	19.1	25.6	31.4	27.9	22.1	25.5 31.1	30.4	18.7	19.7	14.6	29.5	27.7	30.2	22.7	25.2;  43.1	49.8	51.9	54.3	42.2	53.9	58.6	52.1	49.9	53.5 56.6	56.7	46.5	44.2	42.7	54.4	55.3	58.6	48.2	51; 29.1  28.2	37	31.1	30.9	23.7	27.6	30.6	23.2	24.8 30	28.3	23	28.6	21.3	30.1	25.6	24.6	27.1	27.5 ]; %构建分析数据矩阵
[b,bint,r,rint,stats]=regress(y',x')

b =%系数估计值
  107.8763
    4.0599
   -2.6200
   -2.0402
bint =%系数估计值的置信边界的上界和下界
 -100.7196  316.4721
   -2.2526   10.3723
   -8.0200    2.7801
   -5.3790    1.2986
r =%残差
   -2.8541
    2.6523
   -2.3515
   -3.0467
    1.0842
   -0.5405
    1.5828
    3.1830
    1.7691
   -1.3383
    0.7572
    2.1928
   -3.3433
    4.0958
    0.9780
    0.1931
   -0.6220
   -1.3659
   -3.6641
    0.6382
rint =%用于诊断离群值的区间
   -7.0569    1.3488
   -2.1810    7.4856
   -6.2623    1.5593
   -7.9378    1.8444
   -3.2626    5.4310
   -5.6469    4.5659
   -3.1194    6.2849
   -1.5201    7.8862
   -3.0732    6.6113
   -6.0888    3.4121
   -4.3244    5.8388
   -2.8440    7.2297
   -7.8489    1.1623
   -0.3044    8.4960
   -3.4144    5.3703
   -4.9673    5.3534
   -5.7883    4.5444
   -6.1250    3.3932
   -8.3703    1.0420
   -4.6541    5.9305
stats =%模型统计量
    0.7993   21.2383    0.0000    6.2145

部分最小二乘回归

matlab

function [beta,VIP]= pls(X,Y)
[n,p]=size(X);
[n,q]=size(Y); 
meanX=mean(X);%均值
varX=var(X);%方差
meanY=mean(Y);%均值
varY=var(Y);%方差 
 
%%%%数据标准化过程
for i=1:p      
    for j=1:n
    X0(j,i)=(X(j,i)-meanX(i))/((varX(i))^0.5);
    end
end
for i=1:q
    for j=1:n
    Y0(j,i)=(Y(j,i)-meanY(i))/((varY(i))^0.5);
    end
end
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
[omega(:,1),t(:,1),pp(:,1),XX(:,:,1),rr(:,1),YY(:,:,1)]=plsfactor(X0,Y0);
[omega(:,2),t(:,2),pp(:,2),XX(:,:,2),rr(:,2),YY(:,:,2)]=plsfactor(XX(:,:,1), YY(:,:,1));
 
PRESShj=0;
tt0=ones(n-1,2);
 
for i=1:n
    YY0(1:(i-1),:)=Y0(1:(i-1),:);
    YY0(i:(n-1),:)=Y0((i+1):n,:);
    tt0(1:(i-1),:)=t(1:(i-1),:);
     tt0(i:(n-1),:)=t((i+1):n,:);
     expPRESS(i,:)=(Y0(i,:)-t(i,:)*inv((tt0'*tt0))*tt0'*YY0);
     for m=1:q
        PRESShj=PRESShj+expPRESS(i,m)^2;
     end
end
 sum1=sum(PRESShj);
 PRESSh=sum(sum1);
 
 for m=1:q
        for i=1:n
             SShj(i,m)=YY(i,m,1)^2;
        end
 end
 sum2=sum(SShj);
 SSh=sum(sum2);
 
 Q=1-(PRESSh/SSh);
 
 k=3;
 %%%%%%%%%%%%%%%%循环，提取主元 
 while Q>0.0975
     [omega(:,k),t(:,k),pp(:,k),XX(:,:,k),rr(:,k),YY(:,:,k)]=plsfactor (XX(:,:,k-1),YY(:,:,k-1));
      PRESShj=0;
    tt00=ones(n-1,k);
 for i=1:n
    YY0(1:(i-1),:)=Y0(1:(i-1),:);
    YY0(i:(n-1),:)=Y0((i+1):n,:);
     tt00(1:(i-1),:)=t(1:(i-1),:);
     tt00(i:(n-1),:)=t((i+1):n,:);
     expPRESS(i,:)=(Y0(i,:)-t(i,:)*((tt00'*tt00)^(-1))*tt00'*YY0);
     for m=1:q
        PRESShj=PRESShj+expPRESS(i,m)^2;
     end
 end
  
 for m=1:q
        for i=1:n
            SShj(i,m)=YY(i,m,k-1)^2;
       end
 end

sum2=sum(SShj);
 SSh=sum(sum2);
  Q=1-(PRESSh/SSh);
 
  if Q>0.0975
     k=k+1;
  end
 
 end
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
h=k-1;%%%%%%%%%提取主元的个数 

%%%%%%%%%%%%%%还原回归系数 
omegaxing=ones(p,h,q);
for m=1:q
omegaxing(:,1,m)=rr(m,1)*omega(:,1);
   for i=2:(h)
       for j=1:(i-1)
          omegaxingi =(eye(p)-omega(:,j)*pp(:,j)');
          omegaxingii=eye(p);
          omegaxingii=omegaxingii*omegaxingi;
       end
      omegaxing(:,i,m)=rr(m,i)*omegaxingii*omega(:,i);
   end
beta(:,m)=sum(omegaxing(:,:,m),2);
end 
%%%%%%%计算相关系数 
for i=1:h
    for j=1:q
        relation(i,j)=sum(prod(corrcoef(t(:,i),Y(:,j))))/2;
    end
end
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Rd=relation.*relation;
RdYt=sum(Rd,2)/q;
Rdtttt=sum(RdYt);
omega22=omega.*omega; 
VIP=((p/Rdtttt)*(omega22*RdYt)).^0.5; %%%计算VIP系数

提取主元

matlab

function [omega,t,pp,XXX,r,YYY]=plsfactor(X0,Y0) 
XX=X0'*Y0*Y0'*X0;
[V,D]=eig(XX);
Lamda=max(D);
[MAXLamda,I]=max(Lamda);
omega=V(:,I);          									%最大特征值对应的特征向量 
 %%%第一主元 
t=X0*omega;
pp=X0'*t/(t'*t);
XXX=X0-t*pp';
r=Y0'*t/(t'*t);
YYY=Y0-t*r';

例子：

matlab

X=[191 36 50;%自变量
189 37 52;
193 38 58;
162 35 62;
189 35 46;
182 36 56;
211 38 56;
167 34 60;
176 31 74;
154 33 56;
169 34 50;
166 33 52;
154 34 64;
247 46 50;
193 36 46;
202 37 62;
176 37 54;
157 32 52;
156 33 54;
138 33 68
];	

Y=[5 162 60;%因变量
2 110 60;
12 101 101;
12 105 37;
13 155 58;
4 101 42;
8 101 38;
6 125 40;
15 200 40;
17 251 250;
17 120 38;
13 210 115;
14 215 105;
1 50 50 ;
6 70 31;
12 210 120;
4 60 25;
11 230 80;
15 225 73;
2 110 43];	
[beta,VIP]=pls(X,Y)	%进行部分最小二乘回归

beta =
   -0.0778   -0.1385   -0.0604
   -0.4989   -0.5244   -0.1559
   -0.1322   -0.0854   -0.0073
VIP =
    0.9982
    1.2977
    0.5652

数理统计基础

样本均值

M=mean(A)

算术平均 nanmean
几何平均 geomean
调和平均 harmmean
调整平均 trimmean

样本方差与标准差

方差 var(A,w) w——权重向量
标准差 std(A,w)

w=0(默认)，按N-1进行归一化

w=1，按观测数值量N进行归一化

协方差和相关系数

协方差 cov(A)
相关系数 corrcoef(A)

多元数据相关分析

主成分分析

matlab

function [F,rate,maxlamda]=mainfactor(X)
[n,p]=size(X);
meanX=mean(X);
varX=var(X);
for i=1:p      
    for j=1:n
    X0(j,i)=(X(j,i)-meanX(i))/((varX(i))^0.5);
    end
end
V=corrcoef(X0);
[VV0,lamda0]=eig(V);
lamda1=sum(lamda0);
lamda=lamda1(find(lamda1>0));
VV=VV0(:,find(lamda1>0));
k=1;
while(k<=length(lamda))
    [maxlamda(k),I]=max(lamda);
    maxVV(:,k)=VV(:,I);
    lamda(I)=[];
    VV(:,I)=[];
    k=k+1;
end
lamdarate=maxlamda/sum(maxlamda);
rate=(zeros(1,length(maxlamda)));
for l=1:length(maxlamda)
    F(:,l)=maxVV(:,1)'*X';
    for m=1:l
    rate(l)=rate(l)+lamdarate(m);
    end
end

例子：

matlab

X=[19.5 24.7 30.7 29.8 19.1 25.6 31.4 27.9 22.1 25.5  31.1 30.4 18.7 19.7 	14.6	29.5	27.7	30.2	22.7	25.2;43.1	49.8	51.9	54.3	42.2	53.9	58.6	52.1	49.9	53.5 56.6	56.7	46.5	44.2	42.7	54.4	55.3	58.6	48.2	51;	  29.1 	28.2	37		31.1	30.9	23.7	27.6	30.6	23.2	24.8	  30		28.3	23		28.6	21.3	30.1	25.6	24.6	27.1	27.5];
[F,rate,maxlamda]=mainfactor(X)	

F =%对应的主成分
  113.2766  113.2766  113.2766  113.2766  113.2766  113.2766
  229.0117  229.0117  229.0117  229.0117  229.0117  229.0117
  123.3809  123.3809  123.3809  123.3809  123.3809  123.3809
rate =%每个主成分的贡献率
    0.9681    1.0000    1.0000    1.0000    1.0000    1.0000
maxlamda =%从大到小排列的协方差阵特征值
   19.3620    0.6380    0.0000    0.0000    0.0000    0.0000

典型相关分析

看是否存在相关关系

matlab

function [maxVV1,maxVV2,F,G]=dxxg(X,Y)
[n,p]=size(X);
[n,q]=size(Y);
meanX=mean(X);
varX=var(X);
meanY=mean(Y);
varY=var(Y);
for i=1:p      
    for j=1:n
    X0(j,i)=(X(j,i)-meanX(i))/((varX(i))^0.5);
    end
end
for i=1:q
    for j=1:n
    Y0(j,i)=(Y(j,i)-meanY(i))/((varY(i))^0.5);
    end
end
V1=inv(X0'*X0)*X0'*Y0*inv(Y0'*Y0)*Y0'*X0;
V2=inv(Y0'*Y0)*Y0'*X0*inv(X0'*X0)*X0'*Y0;
[VV1,lamda1]=eig(V1);
[VV2,lamda2]=eig(V2);
lamda11=sum(lamda1);
lamda21=sum(lamda2);
k=1;
while(k<=(length(lamda1))^0.5)
    [maxlamda1(k),I]=max(lamda11);   
    maxVV1(:,k)=VV1(:,I);
    lamda11(I)=[];
    VV1(:,I)=[];
     [maxlamda2(k),I]=max(lamda21);
    maxVV2(:,k)=VV2(:,I);
     lamda21(I)=[];
    VV2(:,I)=[];
    k=k+1;
end
F=X0*maxVV1;
G=Y0*maxVV2;

例子：

matlab

X=[191 36 50; 189 37 52; 193 38 58; 162 35 62; 189 35 46; 182 36 56; 211 38 56; 167 34 60; 176 31 74; 154 33 56; 169 34 50; 166 33 52; 154 34 64; 247 46 50; 193 36 46; 202 37 62; 176 37 54; 157 32 52; 156 33 54; 138 33 68];
Y=[5 162 60; 2 110 60; 12 101 101; 12 105 37; 13 155 58; 4 101 42; 8 101 38; 6 125 40; 15 200 40; 17 251 250; 17 120 38; 13 210 115; 14 215 105; 1 50 50 ; 6 70 31; 12 210 120; 4 60 25; 11 230 80; 15 225 73; 2 110 43];	
[maxVV1,maxVV2,F,G]=dxxg(X,Y)

maxVV1 =%X的典型主轴
    0.4405
   -0.8971
    0.0336
maxVV2 =%Y的典型主轴
   -0.2645
   -0.7976
    0.5421
F =%X的典型成分
    0.0247
   -0.2819
   -0.4627
   -0.1566
    0.2506
   -0.1079
   -0.1510
    0.2035
    1.2698
    0.2331
    0.1926
    0.4286
   -0.0098
   -1.7782
    0.0417
   -0.0034
   -0.5045
    0.5482
    0.2595
    0.0036
G =%Y的典型成分
   -0.0960
    0.7170
    0.7649
    0.0373
   -0.4281
    0.5414
    0.2990
    0.1142
   -1.2921
    0.1779
   -0.3935
   -0.5266
   -0.7461
    1.4262
    0.7202
   -0.4237
    0.8843
   -1.0515
   -1.2619
    0.5373

方差分析

单因素方差分析

anoval(X,group) group——标识箱线图中的坐标

matlab

X=[4.3  6.1  6.5  9.3  9.5; 7.8  7.3  8.3	8.7	 8.8; 3.2  4.2  8.6	7.2	11.4; 6.5  4.1  8.2  10.1  7.8];
mean(X)
[p,table,stats]=anova1(X)	

ans =%样本均值
    5.4500    5.4250    7.9000    8.8250    9.3750
p =%各列均值相等的概率值
    0.0042
table =%方差分析表
  4×6 cell 数组
    {'来源'}    {'SS'     }    {'df'}    {'MS'      }    {'F'       }    {'p 值(F)' }
    {'列'  }    {[55.5370]}    {[ 4]}    {[ 13.8843]}    {[  6.0590]}    {[  0.0042]}
    {'误差'}    {[34.3725]}    {[15]}    {[  2.2915]}    {0×0 double}    {0×0 double}
    {'合计'}    {[89.9095]}    {[19]}    {0×0 double}    {0×0 double}    {0×0 double}
stats = %结果结构体
  包含以下字段的 struct:
    gnames: [5×1 char]
         n: [4 4 4 4 4]
    source: 'anova1'
     means: [5.4500 5.4250 7.9000 8.8250 9.3750]
        df: 15
         s: 1.5138

双因素方差分析

anova2(X,reps) reps——试验重复次数

matlab

X=[58.2    52.6 56.2 41.2    65.3 60.8;49.1 42.8 54.1 50.5 51.6 48.4;60.1 58.3    70.9 73.2    39.2 40.7;75.8 71.5    58.2 51    48.7 41.4];	
[p,table,stats]=anova2(X',2)

p =
    0.0260    0.0035    0.0001
table =
  6×6 cell 数组
    {'来源'   }    {'SS'        }    {'df'}    {'MS'      }    {'F'       }    {'p 值(F)'   }
    {'列'     }    {[  261.6750]}    {[ 3]}    {[ 87.2250]}    {[  4.4174]}    {[    0.0260]}
    {'行'     }    {[  370.9808]}    {[ 2]}    {[185.4904]}    {[  9.3939]}    {[    0.0035]}
    {'交互效应'}    {[1.7687e+03]}    {[ 6]}    {[294.7821]}    {[ 14.9288]}    {[6.1511e-05]}
    {'误差'   }    {[  236.9500]}    {[12]}    {[ 19.7458]}    {0×0 double}    {0×0 double  }
    {'合计'   }    {[2.6383e+03]}    {[23]}    {0×0 double}    {0×0 double}    {0×0 double  }
stats = 
  包含以下字段的 struct:
      source: 'anova2'
     sigmasq: 19.7458
    colmeans: [55.7167 49.4167 57.0667 57.7667]
        coln: 6
    rowmeans: [58.5500 56.9125 49.5125]
        rown: 8
       inter: 1
        pval: 6.1511e-05
          df: 12

向量

基础运算

特殊变量

单元型变量

赋值语句定义

对单元语句逐个赋值——cell()

引用

常用函数

结构型变量

矩阵运算

矩阵生成

利用M文件创建

利用文本文件创建

创建特殊矩阵

矩阵元素的运算

元素的修改

矩阵的变维

矩阵的变向

矩阵的提取

矩阵数学运算

加减法

乘法

除法

基本运算

矩阵分解

楚列斯基分解(正定矩阵)

LU分解(三角分解)

LDMT{LDM}^TLDMT和LDLT{LDL}^TLDLT分解

QR分解(正交三角形分解)

SVD分解

舒尔分解

海森伯格分解

二维绘图

plot

不同坐标系下的绘图命令

极坐标系——polarplot

半对数坐标系——semilogx/semilogy

双对数坐标系——loglog

双y轴坐标——yyaxis

图形窗口

图形标注

属性设置

坐标系与坐标轴

特殊图形

统计图形

离散数据图形

向量图形

三维绘图

绘图命令

三维图形修饰处理

视角处理

颜色处理

光照处理

图像处理

程序设计

M文件

程序设计

函数句柄

矩阵分析

特征值与特征向量

矩阵对角化

若尔当标准型

矩阵的反射与旋转变换

豪斯霍尔德反射波变换

吉文斯旋转变换

符号运算

符号与数值

符号矩阵

创建

其他运算

符号多项式简化

数列与极限

数列

数列求和

数列求积

极限和导数

极限

导数

级数求和

积分

${LDM}^T$ 和 ${LDL}^T$ 分解